Uzunmüddətli Proqnozun Fəsadları

Təxmin, qiymətləndirmə və proqnozlaşdırma adlı yazımda, proqnozlaşdırmanın asılı dəyişənin cari və keçmiş qiymətlərinin bilindiyi halda, asılı dəyişənin gələcək dəyərlərinin hesablanması olduğunu vurğulamışdım. Ekonometrik ədəbiyyatlarda hər hansı bir dəyişənin gələcək qiymətlərinin proqnozlaşdırılması üçün müxtəlif üsullar təklif edilsə də, bu üsullar arasında dəyişənin gələcək qiymətlərinin hesablanması prosesində Box və Jenkins tərəfindən təklif edilən ARMA (autoregressive moving average-avtoreqressiv hərəkətli orta) modelinin daha üstün olduğu vurğulanır. Ekonomerik model vasitəsi ilə sadəcə bir dəyişənin proqnozlaşdırılması nəzərdə tutulursa, ARMA modelləri istifadə edilir. Əgər iki və ya daha çox dəyişənin proqnozlaşdrılması tələb olunursa bu zaman ARMA modelinin törəməsi olan VAR(vektor avtoreqressiv) və SVAR(struktur VAR) kimi modellər istifadə edilir.

Proqnozlaşdırma vasitəsi ilə, məqsəddən asılı olaraq bir və ya bir neçə dəyişənin gələcək qiymətlərini hesablanmaq mümkündürsə, proqnoz dörvünün çox olması yaxşı deyilmi? Əgər gələcək dəyərləri hesablayabilirksə, uzun müddət sonrasını hesablamaq daha səmərəli olmazmı? Proqnozlaşdırma prosesinin texniki tərəfinə bələd olmadan bu kimi suallar çox məntiqli səslənir. Texniki olaraq, proqnozlaşdrma prosesində uzunmüddət sonrasını hesablamaq mümkündür. Ancaq bu prosesin ciddi fəsadları var. Diqqət etmisinizsə, Dünya Bankı, Beynəlxalq Valyuta Fondu və bu kimi iqtisadi qurumlarla yanaşı, meteroloqlar da hava proqnozu verdikləri zaman yaxın gələcəyə dair hesablama nəticələrini açıqlayırlar. Uzaq gələcəklə bağlı hər hansı proqnoz verdikdə isə, çox zaman bu proqnozları yeniləmək və ya düzəltmək zərurəti ilə qarşılaşırlar. Bəs bunun səbəbi nədir? Bu sualı cavablandırmaq üçün proqnozlaşdırma prosesinin texniki tərəfini analiz etmək lazımdır.

Aşağıda yerləşdirdiyim əlyazmalarda, təkdəyişənli model olan AR(1) modeli əsasında uzunmüddətli dövr üçün proqnozun necə hesablandığını texniki olaraq görtərmişəm. Bir sonrakı yazımda, real nümunə əsasında qısa və uzunmüddətli dövr üçün proqnozların neçə hesablandığını göstərməyə çalışacam[1].

---

[1] Walter Enders: Applied Economerics TIME SERIES 4th edition p,79-81

Son olaraq, qısa bir şəkildə ifadə etsək uzaq gələcək üçün proqnoz verildiyi zaman xətaların böyüməsi nəticəsində verilən proqnozlar özünü doğrultmur. Bunun əksinə olaraq, yaxın gələcək üçün verilən proqnozun özünü doğrultma dərəcəsi daha güclüdür. 

Təxmin, Qiymətləndirmə və Proqnozlaşdırma

Müasir dövümüzdə iqtisadi proseslər haqqında aparılan tədiqatlarda ekonometrik üsulların əvəzsiz rolu vardır. Bunu daha yaxşı görmək üçün, son 20-30 ildə iqtisadiyyat üzrə Nobel mükafatı alan iqtisadçıların apardığı tədqiqatlarda ekonometrik üsullardan böyük ölçüdə istifadə etdiklərinə baxmaq kifayyətdir. 

Sadə insanlarla yanaşı, bir sıra iqtisadçılar ekonometrik modelləşdirmə zamanı adətən üç termini qarışdırırlar. Bu terminlər -təxmin, qiymətləndirmə və proqnozlaşdırmadır[1]. Bu terminlərin mahiyyətini və ekonometrik tədqiqatlarda necə istifadə edildiyinə nəzər salaq.

Şəkil 1: Təxmin, qiymətləndirmə və proqnozlaşdırmanın

 riyazi-statistik ifadələri

Təxmin: (1) ilə göstərilən hər hansı bir iqtisadi modelin bilinməyən parametrlərinin müvafiq üsulla tapılması prosesidir.

Qiymətləndirmə: (2), (1) ilə göstərilən modelin təxmin edilmiş halıdır. Artıq (1) modelində bilinməyən parametrlərin qiymətləri bilinir. Belə olan halda, X_it (i=1,2,…,k) ilə göstərilən sərbəst dəyişənlərin istənilən qiymətinə görə, asılı dəyişən olan Y-nin alacağı qiyməti (3) bərabərliyində göstərildiyi kimi hesablamaq olar.

Proqnozlaşdırma: Y ilə göstərilən hər hansı bir asılı dəyişənin cari və keçmiş dəyərlərinin bilinməsi şərti ilə, Y dəyişəninin gələcəkdə alacağı qiymətlərin hesablanması prosesidir.  Bu terminin riyazi-statistik ifadəsi Şəkil 1-də verilən (4) bərabərliyidir.

Yuxarıda verilən qısa izahdan belə bir nəticə çıxarmaq olar. Təxmin, qiymətləndirmə və proqnozlaşdıma bir-birinin sinonimi deyil. Əksinə, təxmin, qiymətləndirmə və proqnozlaşdırma ardıcıl bir prosesdir.

---

[1] Bu terminlərin ingilis dilindəki qarşlığı müvafiq olaraq, estimation, prediction və forecasting

FEM vs REM

Here are some general guidelines about which of the two models may be suitable in practical applications[1].

1 If T (the number of time observations) is large and N (the number of cross-section units) is small, there is likely to be little difference in the values of the parameters estimated by FEM and REM. The choice then depends on computational convenience, which may favor FEM.

2 In a short panel (N large and T small), the estimates obtained from the two models can differ substantially. Remember that in REM B1i B1 i _ _., where .i is the cross-sectional randomcomponent, whereas in FEMB1i is treated as fixed. In the latter case, statistical inference is conditional on the observed cross-sectional units in the sample. This is valid if we strongly believe that the cross-sectional units in the sample are not random drawings from a larger population. In that case, FEM is appropriate. If that is not the case, then REM is appropriate because in that case statistical inference is unconditional.

3 If N is large and T is small, and if the assumptions underlying REM hold, REM estimators are more efficient than FEM.

4 Unlike FEM, REM can estimate coefficients of time-invariant variables, such as gender and ethnicity. The FEM does control for such time-invariant variables, but it cannot estimate them directly, as is clear from the LSDV or WG estimator models. On the other hand, FEM controls for all time-invariant variables, whereas REM can estimate only those time-invariant variables that are explicitly introduced in the model.

---

[1] Source:D.Gujarati-Econometrics by Examples. P-300-302

Gözardı edilən fərziyyə:Tutarlılıq və Tutarlı insan

Təxminən 8 illik ekonometrika təhsili və təcrübəmə əsaslanaraq dünyanın bir çox ölkələrində ekonometrik modellərin ən kiçik kvadratlar üsulu ilə təxmini üçün, Qauss Markov tərəfindən qoyulan fərziyyələrin bəziləri yoxlanılmamasının şahidi olmuşam. Qauss Markov şərtləri kimi də, tanınan fərziyyələr kiçik və böyük nümunələr üçün iki qrupa ayrılır. Böyük nümunələr üçün yoxlanılması lazımlı olan fərziyyələrdən biri tutarlılıq[1] fərziyyəsidir. Tutarlılıq fərziyyəsi riyazi olaraq aşağıdakı kimi ifadə edilir.

Tutarlılıq fərziyyəsinin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, müşahidə sayı artdıqca, ana kütlə parametrinin təxmin edicisinin varyansı sıfıra bərabər olacaqdır.

Bu fərziyyəni, əsasən yaşlı nəsildən eşitdiyim bir deyimlə açıqlamağa çalışacam. Yəqin ki, bir çoxlarınız yaşlı insanların danışığında filankəs tutarlı adamdır və ya filankəs tutarsız adamdır ifadəsini eşitmiş olarsız. Bu ifadənin mənasını soruşanda da, deyəcəkləri budur ki, mən filankəsi uzun illərdir tanıyıram-onun xarakteri möhkəmdir. Yəni sabit xarakteri var, xarakterində heç bir dəyişmə yoxdur. Bu ifadə ilə, tutarlılığın riyazi ifadəsi  tamamən eynidir. Belə demək mümkünsə, bir almanın iki yarısıdır. Limitin sonsuza getməsi ilə, filankəsi uzun illərdir tanıyıram ifadəsi eyni olduğu kimi, varyansın sıfıra bərabər olması ilə də, filankəsin xarakterində illərdir dəyişmə yoxdur ifadəsi eynidir.

Psixologiya elmi və bir çox psixoloq hər hansı bir şəxsin xarakterində baş verən dəyişmənin, bu şəxsin xarakterinə təsir edən ciddi bir şokdan qaynaqlandığını göstərirlər. Bu şokun yaşandığı zamanı isə, ümumi olaraq qırılma nöqtəsi kimi qiymətlədirirlər. İnsan həyatında olan bu proses eyni ilə, ekonometrik modellərdə də baş verir. Bu hal ekonometrik modellərdə o zaman baş verir ki, limit sonsuza getdiyi zaman təxmincinin varyansı sıfırdan statistik baxımdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqli olsun. 

Yuxarıda deyilənləri aşağıdakı şəkillər vasitəsi ilə daha aydın göstərmək olar.

Şəkil 1: Tutarlı parametr və ya tutarlı insan

Şəkil 1-də, a və b nöqtələri arasındakı məsafə ekonometrik modeldə dəyişənin əmsalının varyansının sıfıra yaxınlaşması üçün lazimi müşahidə sayını və ya bir insanın xarakterinin formalaşması üçün lazım olan zamanı göstərir. b nöqtəsindən sonra, dəyişənin əmsalının varyansı kimi insanın xarakterindəki dəyişmələr də sıfıra yaxın olur. 

Şəkil 2: Tutarsız parametr və ya tutarsız insan

Şəkil 2 isə, hər hansı dəyişənə aid əmsalın varyansının hər müşahidədə dəyişdiyini və ya xarakteri davamlı dəyişən insanların qrafiki olaraq təsviridir.

İstənilən ekonometrik modeldə, əmsalların zaman içərisində dəyişib dəyişmədiyini və ya tutarlılıq fərziyyəsini mütləq test etmək lazımdır. Bunun üçün isə, CUSUM və ya CUSUM SQ testləri[2] istifadə edilir və aşağıda verilən düsturlarla hesablanır. 

Rekursiv xətaların kumilyativ cəm düsturu

Rekursiv xətaların kvadratlarının kumilyativ cəm düsturu

Burada k, tələb edilən minimum müşahidə sayı, k parametrlərin sayı, t ümumi müşahidə sayından  tələb edilən minimum müşahidə sayını çıxdıqdan sonra yerdə qalan müşahidə sayı, w_t isə xətaları göstərir. Tutarlı parametrlərin əldə edilməsi üçün, hesablanan statistik qiymətlərin riyazi gözləməsi sıfıra, varyansı isə zaman boyunca hər hansı ədədə bərabər olmalıdır. Yəni E(W_t)=0 və Var(W_t)=c olmaldır. Burada c hər hansı bir sabit ədədi göstərir. Hər hansı modelin ekonometrik təxminindən sonra əmsallar zaman boyunca dəyişməz qalması və ya varyansının sabit olması qrafiki olaraq aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər.

Şəkil 3: Rekursiv xətarın kumilyativ cəmi

Şəkil 4: Rekursiv xətaların kvadratlarının

 kumilyativ cəmi 

Şəkil 3 və Şəkil 4-dən göründüyü kimi, əmsallar o zaman tutarlı hesab edilir ki, hər əlavə edilən müşahidə dəyərindən sonra test dəyərləri müəyyən edilmiş intervalların xaricinə çıxmasın. 

Əgər təxmin edilən əmsal və ya əmsalların varyansı sıfırdan fərqli olarsa, parametrlər tutarsız təxim ediləcəkdir. Bu zaman CUSUM və CUSUM SQ testləri qrafiki olaraq aşağıdakı kimi olacaqdır. 

Şəkil 5: Tutarsız təxmin üçün CUSUM qrafiki

Şəkil 5: Tutarsız təxmin üçün CUSUM SQ qrafiki

Ekonometrik modellərdə hər hansı dəyişənlərin parametrlərinin tutarsız təxmin edilməsi, modeldə bu tutarsızlığa səbəb olan şokun və ya krizin nəzərə alınmadığının ən böyük göstəricisidir. Odur ki, ekonometrika öyrənən və öyrədən hər kəs digər fərziyyələr kimi, mütləq tutarlılıq fərziyəsini də test etməlidir.

Bu qayda psixoloqlar üçün də, əhəmiyyətlidir. Buna görə də. psixoloqlar insanların xarakterində tutarsızlığa səbəb olan şokun zamanını və səbəbini öyrənmədən xəstələrini müalicə etmədikləri kimi, ekonometrik modellərdə parametrlərin tutarsızlığına səbəb olan şok və ya krizin səbəbi və zamanını öyrənmədən iqtisadi təkliflərin verilməsi və ya qəbul edilməsi gələcəkdə daha böyük problemlərə səbəb ola bilər.

---

[2] Cumuliative sum of recursive residiuals və ya cumuliative sum squares of recursive residuals. (Rekursiv xətaların kumilyativ cəmi və ya rekursiv xətaların kvardratlarının kumilyativ cəmi).

---

[1] Şəxsi təcrübəmə əsasən, müşahidə sayının əllidən böyük (n>50)  olduğu hallarda bu fərziyyə mütləq yoxlanılmalıdır.