Qauss Markov və Xətti Reqresiya Modelinin Şərtləri

Tədqiqatçının maraqlandığı mövzudan asılı olaraq tənlik və ya tənliklər sistemi ilə ifadə edilən ekonometrik modellərin təxmini üçün ən geniş şəkildə istifadə edilən metodlardan biri Ən Kiçik Kvadratlar Metodudur. Modelin təxmini zamanı əsas maraqlandığımız suallardan biri dəyişənlərə aid parametrlərin(əmsalların) anakütlə parametrlərini dolğun bir şəkildə ifadə edib etməməsini araşdırmaqdan ibarətdir. Təxmin edilən parametrlərin anakütlə parametrlərini reallığa yaxın  bir şəkildə təmsil etməsi üçün aşağıdakı şərtləri yerinə yetirməsi lazımdır.

1.      Yayınmamazlıq (Unbiased)

2.      Effektivlik (Efficiency)

3.      Tutarlılıq (Consistency)

Yayınmamazlıq: anakütlə parametrlərinin gözlənilən dəyəri(expected value) ilə təxmin edilən parametr(təxminci) arasındakı fərqin sıfıra bərabər olmasını ifadə edir. Əgər bu fərq sıfırdan fəqlidirsə modelin təxmini nəticəsində əldə etdiyimiz parametrlər anakütlə parametrlərindən müsbət və ya mənfi istiqamətdə kənarlaşma ilə nəticələnəcək.

Effektivlik: anakütlə parametrinin təxmin edilmiş iki və ya daha çox parametr arasından dispersiyası ən kiçik olan parametr anakütlə parametrinin effektiv təxminedicisidir.

Ttuarlılıq: anakütlə parametrinin təxmincisi yayınmamazlıq şərtini yerinə yerirməyə bilər. Ancaq,  seçmə müşahidə ölçüsü (sample size) artdıqca təxminci yayınmamazlıq şərtini yerinə yetirəcəkdir.  Bir başqa ifadə ilə desək, limit sonsuza getdikdə ana kütlə parametrinin gözlənən dəyəri və dispersiyası təxmincinin aldığı qiymətə bərabər olacaqdır.

Yuxarıda sadalanan bu şərtlər Qauss Markov şərtləri adlanır. ƏKKM ilə təxmin edilən modelin parametrləri bu şərtləri yerinə yetirir.

Xətti reqresiya modelinin aşağıdakı şərtləri yerinə yetirməsi zəruridir.

1.  Anakütlə xəta termini təsadüfi dəyişən olmaqla bərabər  gözlənən dəyəri (şərti ortalaması) sıfıra bərabərdir.

2.  Sərbəst dəyişən x’in hər bir dəyərində, xəta terminin dispersiyası sabitdir.

3. Xəta teriminləri bir biri ilə əlaqəsizdir. Yəni, xəta terminləri arasındakı kovariyasiya, dolayısı ilə koreliyasıya sıfıra bərabərdir.

4.  Xəta terminləri ilə sərbəst dəyişən arasında əlaqə yoxdur. Başqa bir şəkildə ifadə etsək xəta terminləri ilə sərbəst dəyişənlər arasında kovariyasiya sıfıra bərabərdir.

5.   Xəta termini Normal Paylanmaya sahip olmalıdır.

6.     X dəyişəninin aldığı dəyər təkrarlanan seçmələrdə sabitdir. Bu şərt reqresiya modelinin x dəyişəninə görə şərti olduğunu göstərir.

7.    X dəyişəni hər hansı bir ehtimal paylanmasına (probability distribution) sahib olmamaqla bərabər ən az iki dəyər almalıdır.

8.     Müşahidə sayı (n) dəyişən sayından çox olmalıdır.

Emprik Bir Nümunə

            Təhsil almaq hər bir vətəndaşın ən təməl haqlarından biridir. Bir çox hallarda  fərdlərin təhsil almaq istəyi müxtəlif səbəblərə görə məhdudlaşır. Fərdlərin təhsil alması və ya təhsilini istədiyi səviyyədə davam etdirməsi də, müəyyən maneələri aşmaq hesabına başa gəlir. Təhsil almaq istəyən bir fərdin qaşısındakı əngəllərdən biri də, yaşadığı yerlə təhsil alacağı yer arasındakı məsafənin böyük olmasıdır. Təhsil ocağına uzaqlıqla bağlı problemlə qarşılaşdıqda fərdlər ya təhsil almaqdan tamamən imtina edir, ya da təhsilini tam şəkildə sonlandırmır. Beləliklə, universitet və yaşayış yeri arasındakı uzaqlıq təhsilin səviyyəsinə öz mənfi təsirini göstərmiş olur.

            Modelimizdə istifadə edilən dəyişənlər də, fərdlərin tamamlanmış təhsil ili və yaşadıqları yerlə universitet arasındakı məsafəni göstərən dəyişənlərdən ibarətdir. Dəyişənlərə aid ölçü vahidləri müvafiq olaraq il və 10 mil olaraq ölçülmüşdür. Dəyişənlərə aid dəyərlər, 1980 ci ildə Amerikanın Təhsil Departamenti tərəfindən ABŞ’ın qərb bölgələrində yerləşən 1100 orta məktəbdə son sinifdə təhsil alan şagirdlər arasında keçirdiyi anket sorğusunun nəticələrindən əldə edilmişdir. Dəyişənlərə aid dəyərlərə qrafiki olaraq nəzər yetirək.

Qrafikdən göründüyü kimi təhsil ocağına uzaqlıq artdıqca müəyyən tamamlanmış təhsil ili üzrə fərdlərin sayı azalmaqdadı. Belə ki, universitetə uzaqlığı 80 mil olan fərdlər müvafiq tamamlanmış təhsil ili ətrafında daha sıx toplanmışdır. Uzaqlıq artdıqca bütün tamamlanmış təhsil ili səviyyələrində fərdlərin sayı azalmaqdadı. Bunu dəyişənlər arasındakı korelyasiya əmsalına baxaraqda müəyyən etmək olar.

Korelyasiya əmsalı dəyişənlər arasında mənfiyönlü əlaqənin olduğunu göstərsə də. Statistik baxımdan bu əlaqənin inamlılığı test edilməlidir. Bu isə qurulan təkdəyişənli modeldə müvafiq əmsalın statistik baxımdan əhəmiyyətli olub olmamasına bağlıdır.  ƏKKM'na əsasən qurulan modelin nəticəsi aşağıda verilmişdir.

Modelin nəticəsi tamamlanmış təhsil ili və məsəfə dəyişənləri arasında gözlənilən əlaqəni təsdiqləyir. Məsafə dəyişəninə aid əmsalın (-0.073373) t statistik dəyəri %95 əhəmiyyətlilik dərəcəsi, 3794 sərbəstlik dərəcəsində t kritik dəyəri 1.645 'ə bərabərdir. Məsafə dəyişəninə aid əmsalın hesablanmış t statistik dəyəri  |-5.34|>1.645 olduğu üçün əmsal statistik baxımdan əhəmiyyətlidir. Universitetə uzaqlıq bir vahid (10 mil) artdığı zaman  tamamlanmış təhsil ili 0.07 vahid azalmaqdadır. Təxmin edilən model riyazi olaraq aşağıdakı şəkildə göstərilə bilər.

TTI = 13.9558561148 - 0.0733727071292*MESAFE

Modeldən əldə edilən qalıqların (real dəyərlərlə təxmin edilmiş dəyərlər arasındakı fərq) reqresiya modelinin şərtlərini yerinə yetirib yetirmədiyini aşağıdakı şəkildə test edə bilərik.

1.Avtokorelyasiya testi: bu test modeldən əldə edilən qalıqların öz dəyərləri arasında koreliyasiyanın olub olmamasını araşdırır. Qalıqların avtokoreliyasiya  sahib olub olmamasını Durbin-Watson testi ilə test etmək olar. Durbin-Watson test dəyəri aşağıdakı düstura əsasən hesablanır.

Müşahidə sayı böyük olduğu zaman, d dəyəri 

 Buradakı "ro" koreliyasiya əmsalı 1 qiymətini aldığı zaman d=0, "ro" -1 qiymətini aldığı zaman isə d=4 qiymətini almış olur. Durbin-Watson cədvəlinə əsaslanaraq qalıqlar arasında koreliyasiya aşağıdakı şəkildə müəyyən edilir. 

1.      0<d<d_L isə müsbət avtokorelyasiya var

2.      d_L≤d≤d_U isə qərarsızlıq bölgəsi

3.      d_U≤d≤4-d_U avtokoreliyasiya yoxdur

4.      4-d_U≤d≤4-d_L qərarsızlıq bölgəsi

5.      4-d_L< isə mənfi avtokoreliyasiya var

 d_Lvə  d_U də müvafiq olaraq alt(lower) və üst(upper) limitləri göstərir. 

Durbin-Watson kritik dəyər cədvəli

Modelimizdə DW testinin hesablanmış dəyəri 1.768991'ə bərabərdir. Bu dəyərə görə modeldən əldə edilən qalıqlar arasında avtokoreliyasiyanın olub olmaması haqqında qərar vermək üçün, DW kritik dəyər cədvəlindən d_L və d_U dəyərlərini müəyyənləşdirilməlidir. Qurulan modeldə bir sərbəst dəyişən olduğundan k=1 şərti və 3474  sərbəstlik dərəcəsinə görə d_L və d_U  müvafiq olaraq 1.748 və 1.789 dəyərini alır. Qərar qrafikini yenidən tərtib edilərək modelin qalıqları arasında avtokoreliyasiyanın olub olmaması haqqında qərar verilir.

Qrafikdən göründüyü kimi modeldən əldə edilən DW dəyərinə əsaslanaraq modelin qalıqları arasında avtokoreliyasiyanın olub olmaması ilə əlaqəli qərar vermək çətindi.

Yuxarıda deyilənləri diqqətə alaraq DW test statikasının zəif tərəflərini aşağıdakı kimi göstərmək olar.

1.DW test statistikası sadəcə birinci dərəcədən avtokoreliyasiyanın olub olmadığını hesablayır.

2. Dəyişənlərdən hər hansı birinə aid bir və ya bir neçə müşahidə sayı olmadıqda DW test statistikasını hesablamaq olmur.

3. Hesablanan DW dəyəri qərarsızlıq bölgəsinə düşdükdə avtokoreliyasiyanın olub olmadığı haqqında fikir irəli sürmək çətinləşir.

Avtokoreliyasiyanın olub olmadığını tədqiq etməyin bir başqa yolu Breusch-Godfrey testidir. Eviews proqramında test aşağıda göstərilən şəkildə hesablanır. 

 Avtokoreliyasiya ilə əlaqəli hipotez testləri aşağıdakı kimidir.

H₀: Qalıqlar Arasında Avtokoreliyasiya Yoxdur

H₁: Qalıqlar Arasında Avtokorelisyasiya Vardır

Breusch-Godfrey LM test statistikasının prob dəyərləri 0.05’dən kiçik olduğu (0.000<0.05) üçün qalıqlar arasında avtokoreliyasiyanın olmadığını göstərən sıfır hipotezi rədd edilir.

2.Dəyişən Dispersiya testi: Modeldən əldə edilən qalıqların üzərinə qoyulan şərtlərdən bir də, sərbəst dəyişənlərin dəyişən dəyərlərinə qarşı qalıqların dispersiyasının dəyişməz olaraq qalmasıdır. Qalıqların dispersiyasının sabit vəya dəyişən olduğunu aşağıdakı şəkildə müəyyənləşdirmək olar.

Dəyişən dispersiyanın mövcudluğunu müəyyənləşdirən Breusch-Pagan-Godfrey(BPG), Harvey, White, Glejser testləri olsa da,  BPG testi istifadə edilmişdir. Dəyişən dispersiya ilə əlaqəli hipotez testləri aşağıdakı kimidir.

H₀: Qalıqlarda Dəyişən Dispersiya yoxdur. (Homoscedasticity)

H₁: Qalıqlarda Dəyişən Dispersiya vardır (Heteroscedasticity)

BPG testinin prob dəyəri, 0.05'dən böyük olduğu üçün sıfır hipotezi qəbul edilir. Testin nəticəsinə görə qalıqlarda dəyişən dispersiya yoxdur. 

3.Normal paylanma testi: Qalıqların yerinə yerirməsi gərəkli olan şərtlərdən biridir. Normal paylanma aşağıdakı şəkildə test edilir. 

Normal paylanmaya aid hipotez testləri aşağdakı kimidir.

H₀: Qalıqlar Normal Paylanmaya Sahibdir

H₁: Qalıqlar Normal Paylanmaya Sahip Deyil

Qalıqların histoqramına diqqət yetirildikdə paylanmanın simmetrik olmadığını görmək olar. Ayrıca, Normal paylanma testi olan Jarque-Bera test statistikasına aid prob dəyərinin 0.05 dən kiçik olduğu üçün sıfır hipotezi rədd ediləbilər. Qalıqlar Normal Paylanmaya sahib deyil. Normal Paylanma zamanı Skewness=0 Kurtosis=3 olmalıdır. Hər iki dəyər göstərilən dəyərdən fərqli olduğu üçün qalıqların Normal Paylanmaya sahib olmadığını söyləmək olar.