Təkdəyişənli Xətti Reqresiya Modelləri.

Bir tədqiqatçı olaraq aşağdakı suallara cavab axtardığmızı nəzərə alaq.

• Hər hansı bir ölkədə parlamenet müzakirələrindən sonra sipirtli içki qəbul edərək avtomobil idərə edən sürücülərə qarşı  cəzaların tətbiq edilməsi ilə əlaqəli qanun qəbul edilmişdir. Qəbul edilən bu qanunun ölümlə nəticələnən yol qəzaları üzərindəki təsiri nə qədərdir? 
• Orta məktəblərdə təhsilin keyfiyyətinin yüksəldilməsi məqsədi ilə sinifdəki şagird sayı azaldılmışdır. Bu addımın şagirdlərin test balları üzərindəki təsiri nə qədərdir?
• Universitetdə daha bir ilinizi müvəffəqiyyətlə  başa vurdunuz. Ali təhsilinizdəki bir illik atışın, gələcəkdəki maaşınızın üzərindəki təsiri nə qədər olacaq? 

Bütün bu suallardan göründüyü kimi, bir faktorun digər bir faktor üzərindəki təsiri ölçülməyə çalışılır. Başqa bir ifadə ilə desək, burada bir faktor səbəb, digər faktor isə nəticəyönümlüdür. Bu və bənzər problemlərlə qarşılaşıldığı zaman, problemin təbiətinə görə iki və ya daha çox dəyişən arasında əlaqənin araşdırılması zərurəti ortaya çıxır. Reqresiya modelləri ümumi olaraq bu tip problemlərin həllinə cavab tapmaq üçün istifadə edilməkdədir. Əgər maraqlandığımız problemdə cəmi iki dəyişən varsa, qurulan reqresiya modeli təkdəyişənli regresiya modeli, ikidən çox dəyişən varsa çoxdəyişənli reqresiya modeli istifadə edilir.  Reqresiya modellərinin təxmini üçün bir çox metod istifadə edilsə də, ekonometrik tədqiqatlarda ən çox istifadə edilən metodlar aşağıdakılardır.

• Ən Kiçik Kvadratlar Üsulu (Least Squares Method) 
• Ən Yüksək Bənzərlik Funksiyası (Maximum Likelihood Funtion)

Reqresiya modelinin təxmini üçün istifadə edilən  metodların riyazi tərəfi ilə əlaqəli açıqlamalara daha sonrakı yazılarda yer veriləcəkdir. Xətti regresyia modellərində istidadə olunacaq dəyişənlərin sayından asılı olmayaraq, dəyişənlər arasındakı əlaqənin xətti olduğu(birinci dərəcəli funksiya ilə ifadə edilə bildiyi) fərz edilməkdədir. Anakütlə ilə əlaqəli təkdəyişənli xətti reqresiya modelini ifadə edən tənlik aşağıdakı kimi göstərilə bilər.

Burada i- indeksi i=1,...,n; müşahidə(observation) dəyərlərini göstərir.

Y_i-asılı dəyişən, açıqlanan dəyişən

X_i-sərbəst dəyişən, açıqlayıcı dəyişən

β₀ anakütlə kəsişmə əmsalı(nöqtəsi)

β₁ anakütlə meyl əmsalı

u_i xəta termi

Reallıqda hər hansı modeldə istifadə olunacaq dəyişənlərin anakütlə dəyərlərini əldə etmək çox çətin olduğundan β₀  və β₁ əmsalları bilinmir. Buna görə, anakütlənin  bilinməyən əmsallarnı təxmin etmək üçün "data"lardan istifadə etmək zərurəti ortaya çıxır. 

Yuxarıda qeyd edilən suallardan yola çıxaraq təkdəyişənli xətti reqresiya modelinin necə qurulduğuna diqqət yetirək. Qurulacaq modelin məqsədi, sinifdəki şagird sayının artırılmasının, onların test nəticələrinə necə təsir etməsini araşdırmaqdan ibarətdir. Modeldə istifadə olunan datalar James H.Stock və Mark W.Watson’un   ‘http://www.pearsonhighered.com/stock_watson/’ saytından əldə edilmişdir. Datala 1998-1999 cu illər də Kaliforniya da 420 məktəbindən alınmışdır. Aşağıdakı cədvəl əldə edilən dataların paylanmasını göstərir.

Cədvəldən göründüyü kimi, ortalama şagird müəllim nisbəti 19.6, standart xəta isə 1.9’a bərabərdir. Paylanmanın 10%-lik hissəsində şagird müəllim nisbəti 17.3 olduğu halda, 90%-lik hissədə şagird müəllim nisbəti 21.9’dur. Dataların sərpilmə qrafiki aşağıda verilmişdir. 

Dəyişənlər arasında mənfi(-0.23) korrelyasiya əlaqəsi vardır. Bu isə qurulacaq modeldə şagird müəllim nisbətinin artırılmasının, şagirdlərin test balının azalmasına səbəb olacağını göstərir. 

Ekonometrik modellərin təxmini.

Ekonometrik tədqiqatlarda çox sayda paket proqram istifadə olunmaqdadır. Bunlara nümunə olaraq Eviews, STATA, SAS, Microfit, Minitab, Oxmetrics, Gauss, R, NCSS göstərmək olar. Bu blogda modellərin qiymətləndirilməsi üçün Eviews və STATA paket proqramları istifadə ediləcəkdir. Təkdəyişənli reqresiya modelinin Eviews paket proqramında təxmin edilməsinin addımları sırası ilə aşağıda verilmişdir.  Təxmin edilən model isə şagird müəllim nisbəti ilə test balı arasındakı əlaqəni analiz edən regresiya modelidir.

•  Birinci addım, istifadə ediləcək dataların olduğu 'eviews work file' açmaqdan ibarətdir. Work file açıldığı zaman qarşımıza aşağdakı şəkildə bir pəncərə çıxır. 

• Modeli təxmin etmək üçün pəncərədə görünən "Quick" menyusu və "Estimation Equation"  altmenyuları seçilir.

• Bir sonrakı addım “Equation Specification” pəncərəsində modeldə istifadə ediləcək asılı və sərbəst dəyişənlərin adlarını sırası ilə yazmaq və “Method” alt menyusundan istifadə etməklə uyğun təxmin metodunu seçməkdən ibarətdir. 
  

Qurduğumuz təkdəyişənli xətti reqresiya modelinin nəticəsi aşağıdakı kimidir.

Modelimizi dəyərləndirmək üçün yuxarıdakı cədvəli dəyərləndirməliyik. 

Dependent Variable: Asılı Dəyişən:TESTSCR-Test Score-Test Balı

Method:Least Squares: Ən Kiçik Kvadratlar Metodu

Sample: 1-420 Seçmə müşahidə aralığı 

Included observations:420 -Modelə daxil edilən müşahidə sayı

Variable:Sərbəst Dəyişən

Coefficient: Əmsal

Std.Error: Standart Xəta

t-Statistic: t statistika dəyərləri

probability: ehtimal dəyərləri

R-squared: Determinasiya əmsalı

Adjusted R-squared:  Düzəldilmiş Determinasiya əmsalı

S.E.of regression: Reqresiya modelinin standart xətası

Sum squared resid: Qalıqların kvadratları cəmi

Log likelihood: 

 F-statistic: F statistikası

Prob(F-statistic): F statistikasının ehtimalı

Mean Dependent var: Asılı dəyişənin ədədi ortası

S.D. Dependent var: Asılı dəyişənin Standart xəsası(yayınma)

Akaike information criterion- Akaike məlumat meyarı

Schwarz  criterion- Schwarz məlumat meyarı 

Hannan-Quinn criter: Hannan-Quinn meyarı

Durbin-Watson stat: Durbin Watson statistikası

Model nəticələrinə görə tənliyimizi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik.

TESTSCR = 698.932952345 - 2.2798082879*STR

Tənlikdən göründüyü kimi şagir müəllim nisbətini göstərən STR(student teacher ratio) dəyişəni ilə test balını göstərən TESTSCR dəyişəni arasında tərsmütanasiblik var. Yəni STR dəyişənimiz bir vahid artırıldıqda TESTSCR dəyişənimiz 2.28 vahid(bal) azalacaqdır. Təxmin edilən reqresiya modelini ifadə edən xətdən də göründüyü kimi dəyişənlər arasında tərsyönlü əlaqə mövcuddur.

Təxmin edilən modelə görə hər sinifdə iki şagird artarsa, şagirdlərin test nəticələrində 4.56 (2*(-2.28))bal azalma olacaqdır.  Mənfi meyl əmsalının əldə edilməsi hər bir müəllimə düşən tələbə sayı artdıqca şagirdlərin test balının azalacağını ifadə edir. Bu məlumatlara sahib olduqdan sonra şagird sayı böyük olan siniflərdə şagird sayının dəyişməsi ilə şagirdlərin test ballarını proqnozlaşdırmaq olar. Nümunə olaraq, sinifdə 20 nəfərin olduğunu fərz edərsək, sinifin test balının 698.9-2.28*20=653.3 olacağını hesablamaq olar. Bu nəticə sadəcə test ballarına şagird müəllim nisbətinin təsir ettiyini düşündüyümüz zaman doğrudur. 

Reqresiya modeli təxmin edildikdən sonra, təxmin edilən əmsalların böyük vəya kiçik olduğunu nəzrədən keçirmək lazımdır. Meyl əmsalının böyük və ya kiçik olduğunu öyrənmək üçün başda qoyulan problemə təkrar geri qayıtmaq lazımdır. Məktəbin Kaliforniya məktəbləri arasında medyana görə ortalama bir məktəb olduğunu fərz edək. Yəni məktəbin orta balı 654.5, şagird müəllim nisbəti isə 19.7dir. Şagird müəllim nisbətinin 2 vahid azalması, bu məktəbi 50%lik hissədən, 10%lik hissəyə keçməsinə səbəb olacaqdır. Bu nəticə çox böyük dəyişmədir. Bir sonrakı sual, bu dəyişmənin şagirdlərin test balına necə təsir edəcəyi ilə əlaqəlidir. Şagird müəllim nisbətini 2 vahid azaltmaq, şagirdlərin test nəticələrini 4.6 bal artacaqdır. Bununla da, məktəbin ortalama balı 654.5 baldan 659.1 bala yüksələcəkdir. Nəticə etibarı ilə məktəbin test ballarının 50%lik hissədən 60%lik hissəyə keçirmişdir. Dataların sərpilmə qrafikinə diqqət edərsək, ən kiçik şagird müəllim nisbətinin 14 olduğunu görə bilərik. Bu dataları istifadə edərək şagird müəllim nisbəti çox kiçik olan məktəblərlə əlaqəli test nəticələrinin necə olacağınıı proqnozlaşdırmaq olmaz.