"Kefli İsgəndərlər" və İnkişaf

Cəlil Məmmədquluzadənin "Ölülər" komediyasında, hər birimizin sevimlisi olan Kefli İsgəndər dövrünün ziyalı gənci kimi, cəmiyyətimizdə olan nöqsanları qamçılayaraq cəmiyyətimizi işıqlı gələcəyə aparmaq istəyində idi. Ancaq onu başa düşməyənlər, onu ziyalı yox ziyanlı biri kimi qəbul edərək özlərindən təcrid edirdilər. Kefli İsgəndər obrazı qaranlıq bir cəmiyyətin "sağ uc dəyəridir".

Ekonometrik Modellərdə Xətaların Paylanması  adlı yazımda, qısaca olaraq normal paylanma və sahib olduğu üstünlüklərdən bəhs etmişdim.  Bu yazımda normal paylanmanın başqa xüsusiyyətləri və normal paylanmanı pozan hallar haqqında nəzəri məlumatları, cəmiyyətin inkişafı ilə açıqlamağa çalışacağam.

Normal paylanmaya sahib ana kütlə və ya normal paylanmaya sahib hər hansı seçmə nümunədə müşahidə  dəyərlərinin 68%-i orta dəyərdən bir standart xəta, 95%-i orta dəyərdən 2 standart xəta, 99%-i isə ortalama dəyərdən 3 standart xəta uzaqlıqda yerləşir.

Şəkil 1: Normal Paylanma

Normal paylanma simmetrik olduğu üçün, orta dəyərdən böyük və kiçik müşahidə saylarının faizləri eynidir. Belə demək mümkünsə, orta qiymətdən böyük və kiçik müşahidələrin faizlə ifadəsi eyni olduğundan paylanma tarazlı və ya simmetrik olur. Ancaq bu hal qeyri-normal paylanmaya sahib anakütlə və seçmə müşahidələrdə mövcud deyil. Belə ki, əksər hallarda hər hansı bir seçmə müşahidədə bir və ya bir neçə uc dəyərlərin olması normal paylanmanı pozur. Qrafikdən göründüyü kimi, uc dəyərlərin sayı anakütlədə faiz olaraq olduqca kiçik yer tutur.

Sola və Sağa Meyilli Paylanma

Normal paylanmanın ən vacib xüsusiyyətlərindən biri, simmetrik paylanmasıdır. Simmetrikliyin səbəbi isə, mərkəzi yer ölçüləri olan ədədi orta(riyazi gözləmə), medyan və mod dəyərlərinin bir birinə bərabər olmasıdır. Mərkəzi yer ölçüləri bir-birindən fərqli olarsa nə baş verər? Bu sualı cavablandırmaq üçün aşağıdakı şəkilə nəzər yetirək.

Şəkil 2 : Sağa və Sola Meyilli Paylanma

Sağa meyilli paylanmada, mərkəzi yer ölçülərindən orta dəyər mod və medyandan böyük, sola meyilli paylanmada isə, orta dəyər medyan və moddan daha kiçikdir. Hər hansı normal paylanmaya sahib ana kütlə və ya seçmə müşahidə də normallığın pozularaq meyilli paylanmaya keçməsinin əsas səbəbi müşahidə dəyərləri arasında bir və ya bir neçə uc dəyərlərin olmasıdır. Uc dəyər, hər hansı bir müşahidə dəyərinin digər müşahidə dəyərlərindən kəskin şəkildə fərqlənməsi ilə ortaya çıxır. Statistik olaraq, normal paylanmaya sahib bir ana kütlə və ya seçmə müşahidə də orta dəyərdən ən az 4 standart xəta qədər uzaqlıqda yerləşən müşahidə dəyər(lər)i uc dəyər(lər) kimi ifadə edilir.  

İnsan İnkişafı İndeksi

1990-cı ildə Pakistanlı iqtisadçı Mahbub ul Haq tərəfindən tərtib edilən İnsan İnkişafı İndeksi(İİİ), 1993-cü ildən etibarən hər il BMT-nin İnkişaf Proqramında  təqdim edilir. Hesablanan bu indeks, 0-1 aralığında dəyər alır. İndeksin sıfıra yaxınlaşması İnsan İnkişafının aşağı olduğunu, birə yaxınlaşması isə, İnsan İnkişafının yüksək olduğunu göstərir. İİİ hesablanarkən, doğuş zamanı gözlənilən ömür uzunluğu, yetkin insanların oxuma yazma nisbəti, məktəblərdə qeydiyyatda olan şagird nisbəti, ortalama olaraq  təhsil səviyyəsi, Amerika dolları ilə ölçülən adambaşına düşən Ümumi Milli Məhsul(GNI əmsalı) kimi amillər nəzərə alınır.  Diqqət edilərsə, bütün bu amillərin kökündə təhsil səviyyəsi dayanır. Demək olar ki, İİİ hesablanarkən təhsil səviyyəsi birbaşa və dolayı olaraq ən böyük çəkiyə malikdir. Buradan belə qənaətə gəlmək olar ki, hər hansı bir ölkədə təhsil səviyyəsi nə qədər güclü olsa,  həmin ölkədə İİİ də bir o qədər güclü olacaqdır. BMT-nin İnkişaf Proqramında İİİ üzrə dünya sıralamasında baxdığımız zaman ilk sıralarda qərarlaşan ölkələr,  Skandinaviya ölkələri, Qərbi Avropa ölkələri, Amerika, Kanada, Yaponiya, Yeni Zelandiya, Avusturaliya kimi ölkələridir.

Şəkil 3: İİİ üzrə Dünya Xəritəsi

Azərbaycan hazırda 0.759 balla 78-ci sıradadır. Bu görstərici ilə, Azərbaycan qonşularından sadəcə 84-cü sırada olan Ermənistanı qabaqlayır.

İİİ-nin hesablanasında təhsil səviyyəsinin çox ciddi rol oynadığını və son illər istər 9 illik təhsil, istər 11 illik təhsil səviyyəsinin göstəricilərində azalmaların olması ciddi narahatçılıq doğuran məsələlərdəndir. Bütün bunlara baxmayaraq, son illərdə Xaricdə Təhsil Dövlət programı, bir sıra xarici təqaüd proqramları və şəxsi vəsaitləri hesabına Avropa, Amerika və Asiyanın nüfuzlu üniversitetlərində təhsil alanların artması sevindirici məqamlardandır. Ancaq, 2007-2015 Xaricdə Təhsil Programı ilə xaricə göndərilənlərin təxminən 54.6%-nin, şəxsi vəsaiti hesabına təhsil alanların isə daha böyük əksəriyyətinin vətənə qayıtma niyyətinin olmaması da, digər məyusedici hallardandır.  Heç şübhəsiz bunun əsas səbəbləri arasında xaricdə təhsil almış gənclərə normal mühitin yaradılmaması, müxtəlif səpkili(akademik və siyasi) təqib və təziqlərin artmasını göstərmək olar. Səbəb nə olursa olsun, bu gənclərin ölkənin ictimai və siyasi həyatından təcrid edilməsi ölkənin inkişafına öz mənfi təsirlərini göstərir və göstərəcəkdir. Aşağıda verəcəyim hipotetik nümünə, statistik olaraq bu iddianı doğrulayır.

Hipotetik Nümunə

Norml paylanma əsasında riyazi gözləməsi(ədədi ortası) 280, standart xətası 3 olan, 1000 ədəd təsadüfi dəyərə sahib X dəyişəni yaradılmışdır. Təsadüfi dəyişənin ortalamasının və standart xətasının müvafiq olaraq 280 və 3 seçilməsi TQDK-nın üniversitetlərə qəbul ballarının ortalaması və standart xətasına uyğun olmsı məqsədi daşıyır. Bu dəyişənin paylanması və təsviri statistikaları aşağıda verilmişdir.

Şəkil 4: X Dəyişəninin Təsviri Statistikaları

Şəkil 5: X Dəyişəninin Qutu Qrafiki

Şəkil 4 və Şəkil 5-də Normal Paylanmaya sahib X dəyişəninin təsviri statistikalarına nəzər yetirdikdə, orta dəyəri 280 və 3 standart xətaya sahib X dəyişəninə aid dəyərlərdən sadəcə beşi verilən aralıq xaricindədir. Bunlardan ikisi, üç standart xəta aralığından solda, üçü isə 3 standart xəta aralığından sağda yerləşir.

Qeyd edilən ölkələrdə təhsil almağa gedən gənclərin ballarının ölkə üzərə orta baldan çox böyük olduğunu nəzərə alaraq, X dəyişəninin 25 ədəd dəyəri dəyişdirilmişdir. Bunlardan on ikisi orta baldan 4  standart xəta, on üçü isə 5 standart xəta uzaqlıqda yerləşən dəyərlərlə əvəz edilmiş və yeni dəyişən Y olaraq adlandırılmışdır. Y dəyişəninin təsviri statistikaları və qutu qrafikləri müvafiq olaraq Şəkil 6 və Şəkil 7-də təqdim edilmişdir.

Şəkil 6: Y Dəyişəninin Təsviri Statistikaları

Şəkil 7: Y Dəyişəninin Qutu Qrafiki

Hər iki şəkildə verilən məlumatlara görə, 1000 müşahidənin sadəcə 25-ində çox kiçik dəyişikliklər etməklə yeni uc dəyərlər yaradılmışdır ki, bu da paylanmanı sağa meyilləndirmişdir. Normal Paylanmadan sağa meyilli paylanmaya keçid, özündə tədqiq edilən dəyişəndəki inkişafın bariz göstəricisidir. Orta dəyəri 280 olan 1000 ədədlik bir seçmə müşahidədə sadəcə 25 ədəd müşahidə dəyərinin 4 və 5 standart xəta(12 və 15 bal artıq) sağda yerləşməsi orta balı 280.049-dan, 280,3816-ya qədər artırmışdır. Bu artış çox kiçik bir artış kimi görünə bilər. Ancaq nəzər almaq lazımdır ki,  yeni dəyərlər orta dəyərdən sadəcə 12 və 15 bal artırılaraq hesablanmışdır. X və Y dəyərləri arasındakı fərq satatistik baxımdan əhəmiyyətlidirmi?  Bu sualı cavablandırmaq məqsədi ilə, iki fərqli ana kütlənin orta dəyərlərinin müqaisəsi zamanı istifadə edilən t testi hesablanmış və nəticələri aşağıda verilmişdir.  

Cədvəl 1: X və Y Dəyişənlərinin Orta Dəyərlərinin Bərabərliyi Testi

Test for Equality of Means Between Series
Sample: 1 1000
Included observations: 1000
Method		df	Value	Probability
t-test		1998	-2.096855	0.0361
Satterthwaite-Welch t-test*		1846.644	-2.096855	0.0361
Anova F-test		(1, 1998)	4.396802	0.0361
Welch F-test*		(1, 1846.64)	4.396802	0.0361

Əldə edilən nəticələrə görə, X və Y dəyişənlərinin ortalamaları bir-birindən fərqlidir[1]. Yəni, Y dəyişəninin ortalaması statistik olaraq, X dəyişəninin ortalamasından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlidir.

Naşı şəkildə statistika ilə məşğul olanlar, özlərinə əziyyət verməmək məqsədi ilə  hər hansı bir dəyişənin sahib olduğu uc dəyərləri analizdən çıxararaq yerdə qalan müşahidə dəyərləri ilə analiz edirlər ki, bu zaman sərbəstlik dərəcəsinin azalması və həqiqəti əks etdirməyən analizlər edirlər. Bu nümunəyə paralel olaraq, İİİ az olan ölkələrdə adətən cəmiyyətdə müxtəlif aspektlərdən müsbət uc dəyər olan şəxs və ya şəxsləri müxtəlif yollarlarla cəmiyyətdən təcrid edilməsi, cəmiyyətin inkişafına ciddi şəkildə zərbə vurur. İİİ indeksində irəli getməyimizin tək yolu, dilindən, dinindən, cinsindən, siyasi mənsubiyyətindən, əqidəsindən asılı olmayaraq ölkəmizdə sağ uc dəyərdə olan vətəndaşlarımızı cəmiyyətdən təcrid etməmək, həmin vətəndaşlarımıza cəmiyyətin inkişafına öz tövhələrini vermələri üçün lazimi mühiti yaratmaq lazımdır.

---

[1] Bu testdə sıfır hipotezi altında: X və Y dəyişənlərinin orta dəyərləri arasında fərq olmadığı, alternativ hipotez altında isə, X və Y dəyişənlərinin orta dəyərlərinin fərqli olduğu test edilmişdir. 5%-lik əhəmiyyətlilik səviyyəsinə görə, t statistikasına aid ehtimal dəyərinin 0.05-dən kiçik olması sıfır hipotezinin rədd edilərək, alternativ hipotezin qəbul edilməsini göstərir.

Ekonometrik Modellərdə Xətaların Paylanması

Elm tarixinə nəzər salsaq, son iki əsrdə müxtəlif elm sahələrinin birgə tədqiqatlarının artması nəticəsində yeni-yeni elm sahələrinin yaranmağa başladığını görə bilərik. İqtisadi istiqamətdə son bir əsirdə yaranan elm sahələrinə Ekonometrika, Ekonofizikanı nümunə göstərmək olar. Ekonometrik tədqiqatlarda, iqtisadiyyat, riyaziyyat, statistika və komputer porqramlaşdırmasından sıx bir şəkildə istifadə edilir. Ekonofizika tədqiqatlarında, ekonometrikada olduğu kimi riyaziyyat və statistika istifadə edilsə də,  onu ekonometrikadan fərqləndirən əsas istiqamət fizika qanunlarının istifadə edilməsidir. Bu istiqamətdə aparılan ən geniş tədqiqatlar Newtonun Qravitasiya qanununa əsasslanan, Qravitasiya modelləridir. Ekonofizika yeni bir tədqiqat sahəsi olmasına baxmayaraq, Malaziyada təhsilini davam etdirən Səid Cəfərlinin tədqiqatları təqdirə layiq haldır.

Ekonometrikanın əsası, 1926-cı ildə Norveç iqtisadçısı “Ragnar Firish” istehsalçı davranışlarının nəzəri və tətbiqinə əsaslanan “Sur un problème d'économie pure", Norsk Matematisk Forenings Skrifter” adlı məqaləsi ilə qoyulmuşdur.  

Ekonometrikaya tərif versək: Ekonometrika- iqtisadiyyatın riyazi statistik modelləşdirilməsi prosesidir. Ekonometrikadan əvvəl iqtisadi prosesləri modelləşdirmək məqsədi ilə iqtisadi-riyazi modellər istifadə edilirdi. İqtisadi proseslər insan davranışına bağlı olduğu üçün, iqtisadi-riyazi modellər reallığı əks etdirmək üçün kifayyət etmir. Çünki, iqtisadi-riyazi modellər insan davranışlarında olan qeyri-müəyənliyi(təsadüfi davranışları) ifadə etməkdə acizdir. Beləliklə, stoxastik proses olan insan davranışlarının deterministik alətlərlə modelləşdirilməsi həqiqətdən uzaq nəticələrin əldə edilməsinə səbəb olur. 

Statistika, Ekonometrikanın ayrılmaz bir hissəsini təşkil edir. Ekonometrik modelləşdirmə prosesində, statistika sadəcə dəyişənlərə aid müşahidə dəyərlərinin toplanması zamanı istifadə edilirmir. Ən əsası, modelləşdirmə zamanı fərziyyə və hipotezlərin test edilməsi məqsədi ilə statistik paylanmalardan istifadə edilir.

Sual olunur ki, ekonometrik modelləşdirmə zamanı hansı statistik paylanmalar istifadə edilir? Bu sualın konkret cavabı yoxdur. Çünki, ekonometrik modelləşdirmə zamanı hansı stasitik paylanmadan istifadə ediləcəyi, asılı dəyişənin necə ölçülməsindən və paylanmasından asılıdır. Beləki, dəyişənlər aldığı qiymətələrə görə kəsilən və kəsilməz qiymətlərlə ölçülə bilir.  Dəyişənlərin ölçü qiymətləri əsasında da, statistik paylanmaların tipləri müəyyən edilir.

Kəsilən qiymət: tam ədədlərlə ifadə olunur. Numunə olaraq hər hansı bir X dəyişəni sadəcə 0 və 1 qiymətini  və ya X dəyişəni 1, 2, 3, 4, 5 kimi qiymətlər ala bilər. Birinci halda X dəyişəninin aldığı qiymətlərin ölçü dərəcəsi nominal, ikinci halda ordinal ölçü dərəcəsi adlandırılır.

X dəyişəninin kəsilən qiymətlər alan xüsusi bir halı var ki, burada X dəyişəninin aldığı qiymət 1-dən başlayaraq N-ə qədər davam edir. N-in alabiləcəyi kəsilən qiymətlərlə bağlı hər hansı bir məhdudiyyət yoxdur. Yəni, . Bu halda X dəyişəninin aldığı dəyərlərə natural verilənlər[1] deyilir.

Kəsilməz qiymət: Rasional ədədlərlə ifadə edilir. Nümunə olaraq hər hansı bir X dəyişəni 6, 7.8, -5.9, 42.6 vs kimi qiymətlər ala bilər.

Kəsilən dəyişən: Kəsilən qiymətlər alan dəyişənlərə, kəsilən dəyişən deyilir.

Kəsilməz dəyişən: Kəsilməz qiymətlər alan dəyişənlərə kəsilməz dəyişən deyilir.

Kəsilən paylanma: Kəsilən dəyişənlərin sahib olduğu statistik paylanmalardır. Numunə olaraq, Bernoulli, Binom, Negativ Binom və ya Pascal, Multinominal, Geometrik, Hiper-Geometrik, Poisson, Logistik  Uniform paylanmalarını göstərmək olar.

Kəsilməz paylanma: Kəsilməz dəyişənlərin sahib olduğu statistik paylanmalardır. Nümunə olaraq, Normal, Standart Normal, Qamma, Beta, Xi-kvadratı(chi-square), Veybul(Weibull), Üstlü, Koşi(Cauchy), Student-t, F, Erlang paylanmalarını göstərmək olar.

Yuxarıda adları çəkilən və çəkilməyən paylanmaların hər birinin meydana gəlməsi üçün müəyyən şərtlərin yerinə yetirilməsi lazımdır. Bu nüansı nəzərə alaraq, ekonometrik modelləşdirmə prosesində asılı dəyişənin kəsilən və yaxud kəsilməz olduğunu müəyyənləşdirməklə bərabər, həmin dəyişənə aid qiymətlərin necə əldə edildiyindən asılı olaraq statistik paylanmanı seçmək lazımdır. Təsadüfi dəyişəninin hansı paylanmaya sahib olmasını müəyyənləşdirmək ilk baxışdan asan görünsə də, bu proses nəzəri olaraq kifayyət qədər çətin və yorucudur. Ümumi olaraq, təsadüfi dəyişənin hansı paylanmaya sahib olduğu haqqında qərar vermək üçün təkdəyişənli lamda, ümumiləşdirilmiş lamda, pearson və ümumiləşdirilmiş pearson paylanmaları istifadə edilir.

Uzun bir girişdən sonra bir neçə nümunə ilə, prosesi daha da aydınlaşdıraq. Yuxarıda verilən məlumatlar əsasında düşündüyümüz zaman demək olar ki, makro iqtisadi dəyişənlərin hamısı kəsilməz dəyişənlər qrupuna aiddir. Çünki, iqtisadi böyümə, infiliyasiya, işsizlik, faiz dərəcələri, valyuta məzənnəsi, büdcə kəsiri, tədiyyə balansı və.s bu kimi makro iqtisadi dəyişənlərin  qiymətləri əksər hallarda rasional ədədlərlə ifadə edilir. Çox nadir hallarda, bu dəyişənin qiymətlərindən biri və ya bir neçəsi tam ədədlə ifadə edilir.

Tarix	USD/TL	Neft qiymetleri (dollar)
29.12.2017	3.92	63.34
30.11.2017	3.95	63.34
01.12.2017	3.94	63.73
02.12.2017	3.94	63.73
03.12.2017	3.94	63.73
04.12.2017	3.93	63.49
05.12.2017	3.92	62.39
06.12.2017	3.86	62.77
07.12.2017	3.85	61.27
08.12.2017	3.86	63.34

İqtisadi dəyişənlər kəsilməz dəyişənlər olduğundan, modelləşdirmə zamanı fərziyyə və hipotezlərin test edilməsi üçün kəsilməz paylanmalardan istifadə edilir. Ekonometrikanı yeni öyrənənlər yuxarıda qeyd edilən hallara diqqət etmədiyi zaman, Gauss-Markov şərtlərindən olan Normal paylanma fərziyyəsinin bütün modellər üçün doğru olduğunu düşünürlər. Ancaq, bu şəkildə düşüncə tərzi qurulan model nəticələrinin doğru analiz edilməməsinə gətirib çıxarır. Beləliklə, bu kimi modellərdən əldə edilən nəticələrə görə səhv qərarlar qəbul edilir.

Kəsilməz paylanmalardan olan t, F və Xi-kvadratı paylanmaları daha çox hipotez testlərində istifadə edilir. Belə ki, modelə daxil edilən dəyişənlərin ayrı-ayrılıqda satistik əhəmiyyətliliyini yoxlamaq üçün t, modelə daxil edilən bütün sərbəst dəyişənlərin statistik baxımdan əhəmiyyətliliyini birlikdə test etmək üçün isə, F testi istifadə edilir. Xi-kvadratı paylanması isə, ümumi olaraq modelin uyğunluq dərəcəsinin test edilməsi zamanı istifadə edilir. Hər üç paylanmanın asimptotik olaraq(müşahidə sayının böyük həcimli olması və ya sonsuza getməsi) normal paylanmaya yaxınlaşması, normallıq fərziyyəsinin nə qədər böyük əhəmiyyətə sahib olduğunu göstərir.

Normal paylanmanın simmetrik olmasının bir sıra üstün tərəfləri olduğu kimi, tətbiqi baxımdan bəzi əksik tərəfləri də vardır. Xüsusi ilə, maliyyə bazarlarında yaxşı və pis xəbərlərin bazara asimmetrik təsir edir. Yəni, bazara daxil olan müsbət və mənfi xəbərlərin bazar üzərindəki təsiri eyni böyüklükdə olmur. Nümunə üçün, 1dollar=3.90 tl olduğunu fərz edək. Əgər, FES-in faiz dərəcələrinin artırmayacağı qərarı verərsə 1dollar=3.88 lira olacaqsa, FES faiz dərəcəsini artırmaq qərarı verdikdə 1dollar=3.95 ola bilər. Maliyyə bazarlarının bu kimi davranışları olduğundan, maliyyə bazarlarının analizi zamanı istifadə edilən kəsilməz paylanmalar asimmetrik paylanmalar-student t, ümumiləşdirilmiş normal və ya ümumiləşdirilmiş xəta paylanmasını (generalized errod distribution) istifadə etmək daha məqsədəuyğundur.

Qeyd etmək lazımdır ki,asılı dəyişən kəsilməz dəyişən olduğu halda, sərbəst dəyişənlərdən biri və ya bir neçəsi kəsilən dəyişən ola bilər. Bu halda da, fərziyyə və hipotezlərin testi üçün kəsilməz paylanmaların istifadə edilməsi zəruridir.

Bir sıra ekonometrik tədqiqatlarda isifadə edilən asılı dəyişən statistik baxımdan kəsilən dəyişəndən ibarət olur. Bu halda, xətaların normal deyil, Binom və Neqativ Binom paylanmasına sahib olduğu fərz edilir. Asılı dəyişənin kəsilən dəyişən olduğu modellər adətən mikroiqtisadiyyat mövzuları olduğu üçün, bu tip tədqiqatlar mikroekonometrika başlığı altında tədqiq edilir. Mikroekonometrikda da ən sıx istifadə edilən modellərə, Xətti Ehtimal Modeli, Logit, Probit, Tobit, Sıralanmış Logit, Sıralanmış Probit, Multinominal Logit, Multinominal Probit, Puasson(Poisson) Model,  Sıfıra Yığılan, Sıfıra Yığılan Neqativ Binom Modeli(Zero Inflated Negative Binomial Model) kimi modelləri nümunə göstərmək olar.

---

[1] İngilis dilində-Count data, Anadolu türkçəsində sayma veriləri deyirlər.